Matematyka

[Haris]

No to Radku, co ty na to.
Jeżeli zapisze wyrażenie
2x4:4x2 w postaci 2X4/4X2 (co jest matematycznie poprawne) otrzymam 1

[Gandalf]

To nie jest matematycznie poprawne. Jeśli zapisałbyś to nawiasach czyli (2x4)/(4x2) to wtedy Twoja racja byłaby prawdziwa. A tak to racja jest po stronie Radka. Działania należy wykonywać w ściśle określonej kolejności.

[Radek]

Widzę, że zagadkę co niektórzy poodgadywali, ale odpowiedzi nikt nie pokazał. Może ktoś by łaskawie powiedział.

Nie pisałem, bo odpowiedzi nie zgadłem, tylko znalazłem na necie. Chciałem dać szanse komuś innemu. Ale proszę - odpowiedź brzmi "litera D".

No to Radku, co ty na to.
Jeżeli zapisze wyrarzenie
2x4:4x2 w postaci 2X4/4X2 (co jest matematycznie poprawne) otrzymam 1

Tak jak Gandalf pisze - bez nawiasów kolejność działań daje wynik 4. Dopiero użycie nawiasów w formie (2x4)/(4x2) zmienia kolejność działań i daje wynik 1.

1. Pierwszy to dziadek, który synowi dał 150. Syn ten czyli ojciec dał swojemu synowi 100. Czyli ojciec ma 50 i jego syn ma 100. Razem mamy 150.

Prawidłowo. No to pierwsza rozwiązana, kto rozwiąże następne? Szczególnie interesują mnie Wasze odpowiedzi na 4-tą zagadkę.

[Haris]

Z tego co pamiętam z kolejności działań to:
najpierw nawiasy, później mnożenie i dzielenie, później odejmowanie i dodawanie.
Nie ma obowiązku (zasady w matematyce) żeby wykonywać działania po kolei. A nawiasami to sobie tylko ułatwiacie.
Ale mogę się mylić

Dziwne ale mnie uczyli tak samo jak mówi Haris ...
Jednak wiadomo - Radek ma zawsze rację jeżeli chodzi o matmę

[Gandalf]

Dobrze Cię Haris uczyli, ale jak by to wytłumaczyć.
Działanie możesz sobie przestawiać dowolnie zgodnie z tym czego Cię uczyli, np 4:4x2x2, czy 2x2:4x4. I zawsze otrzymasz 4.
To że dzielisz sobie dwa pierwsze wyrazy przez dwa kolejne to jest już działanie z nawiasami. Żeby Ci uzmysłowić o czym mówimy to równanie to można zapisać też w innej formie za pomocą iloczynu:
2 x 4 x 1 x 2
-- --- --- ---
1 x 1 x 4 x 1
W tym równaniu ostatnia dwójka jest w liczniku. Czyli musi być pomnożona. W mianowniku masz tylko 4. Możesz też zapisać sobie to w dowolnej kolejności i otrzymasz ten sam wynik. 4.

[Radek]

Gandalf trochę zawile to wytłumaczył. Zasada mówi o mnożeniu i dzieleniu, które są równorzędne - a operacje równorzędne wykonuje się w kolejności w jakiej są zapisane. Jest to zapisane w tej samej regule, której początek zacytowałeś Leszku. Kolejność działań nigdy nie była dowolna - i po to są nawiasy, żeby można było tą wymuszoną kolejność zmienić, nie po to żeby "sobie ułatwić". Matematyka nie dopuszcza dwuznaczności (na szczęście).

[Haris]

Dobra dobra z tą jednoznacznością matemetyki. Nauczyłem się już tego od znajomych matematyków, gdy o coś pytałem odpowiadali "to zależy czy stosujesz geometrię euklidesową ..." lub podawali mi zastosowanie liczb nierzeczywistych, albo wyjątki kiedy "warto podzielić przez 0" i coś tam wychodzi.
Kiedyś też wymiękłem przy definicji:
"Prosta to okrąg o r= nieskończoność."
Zapytałem dziś osobę, która na co dzień stosuje matematykę. Odpowiedziała - 1 (stosując zapis kreski ułamkowej).

Chyba sięgnę do podręcznika z matematyki, bo podkreślonej przez Ciebie zasady nie pamiętam. Ale ona by wszystko wyjaśniła.

[Radek]

Nie wiem jak to jest z twoimi znajomymi matematykami, ale ja jeśli słyszę od kogoś że matematyka jest niejednoznaczna to wiem że ta osoba po prostu jej nie rozumie. To nie jest dziedzina humanistyczna, którą można "interpretować". Tu wszystko MUSI być jednoznaczne - wyobrażasz sobie żeby na wskutek niejednoznaczności obliczeń ktoś źle policzył np. wytrzymałość budynku? Przykłady które podajesz NIE SĄ przykładami na niejednoznaczność matematyki:
- geometria euklidesowa i nieeuklidesowa - faktem jest że różne geometrie mogą dać różne rozwiązania - tylko że inne geometrie to są abstrakcyjne konstrukty, których z drobnymi wyjątkami nie używa się do obliczeń rzeczywistych rzeczy.
- zastosowanie liczb nierzeczywistych (albo szerzej biorąc - zespolonych) - osobiście znam jedną dziedzinę, w której bardzo się przydają - jest to obliczanie obwodów elektronicznych za pomocą transformat Laplace'a. Skraca to znacznie obliczenia, z kilku stron obliczeń przy metodach klasycznych do kilkunastu linijek przy użyciu transformaty. Po prostu są pewne dziedziny przy których zależność między dwoma wielkościami fizycznymi nie da się opisać liczbą rzeczywistą. Nie ma tu żadnej nieścisłości, to co większość ludzi uznaje za największy zbiór liczb (liczby rzeczywiste) to tylko podzbiór liczb zespolonych.
- warto podzielić przez 0 - to jest przykład na "upraszczanie zasad dla szarych ludzi". Faktycznie, czasami warto podzielić przez 0, zasada że nie dzieli się przez zero jest taką samą uproszczoną wersją jak ta regułka, którą cytowałeś - to tylko uproszczona na potrzeby nie-matematyków wersja szerszych zasad.
- definicja "prosta to okrąg o r=nieskończoność" to z kolei działanie różnego rodzaju "filozofów nauki", którzy próbują interpretować to co nie powinno być interpretowane. Prosta ma jedną właściwą definicję, wymyślanie innych definicji to wprowadzanie zamętu.
- a co do tej osoby co ci dzisiaj tak odpowiedziała - no cóż, ludzie robią błędy, ja w pierwszym odruchu też chciałem tak dzielić, ale z przyzwyczajeń zawodowych sprawdziłem kolejność operatorów i policzyłem prawidłowo. Tak jako ciekawostkę podam ci, że matematyczne zasady kolejności operatorów to pikuś w porównaniu z operatorami C++.

Ech, rozpisałem się znowu. Wracając do tematu czekam na rozwiązania reszty zagadek.

[Haris]

Dzięki Radku. Walczysz twardo o "Królową Nauk" choć jak sam zauważyłeś jeżeli to samo zjawisko można opisać wg 2 logicznie spójnych "abstrakcyjnych konstruktów" i wynik jest inny, to obiektywna prawdziwość wyniku staje pod znakiem zapytnia. Klasyczne 2+2=4, przy zastosowaniu teorii synergii może dać 5.
Ja znowu posiedzialem nad moim przykładem (i co wy na to):
4x1:1X4=

wg kolejności działań = 16
wg przestawiania Gandalfa = 1

[Radek]

Leszku, jakoś mam wrażenie że jedna rzecz ci umyka. Dodanie nawiasów do równania to nie jest zgodne z zasadami przekształcenie, tylko stworzenie zupełnie innego równania. Równanie (4x1):(1x4) to jest INNE RÓWNANIE a nie inna forma równania 4x1:1x4. Tu nie ma żadnych nieścisłości, po prostu (4x1):(1x4)=1 to jest zupełnie inne równanie niż 4x1:1x4=16 i dlatego ma inny wynik.

A wracając do abstrakcyjnych konstruktów, to jest coś takiego jak teoria liczb. Pozwala ona między innymi zdefiniować sobie własne zbiory liczb, własne operacje na nich itp. Można sobie zdefiniować zbiór liczb, w którym 2+2 będzie równe 5 (albo dowolną inną liczbę). Tylko zdefiniowanie sobie takiego zbioru nie oznacza że wszyscy mają za wynik dodawania 2+2 uznać 5. Takie abstrakcyjne zbiory liczb, tak samo jak abstrakcyjne geometrie można porównać do hipotez historycznych w stylu "jak by potoczyła się historia gdyby Napoleon wygrał pod Waterloo". Można snuć takie rozważania, można zbudować całe systemy teorii, całe alternatywne historie świata w oparciu o tą hipotezę, ale nie zmienia to faktu, że Napoleon tą bitwę przegrał i historia potoczyła się tak jak się potoczyła. To samo w matematyce - abstrakcyjne konstrukty przez sam fakt że są abstrakcyjne nie podważają zasad "normalnej matematyki". Jak weźmiesz dwa jabłka i dołożysz do tego dwa jabłka, to żaden z tych abstrakcyjnych konstruktów nie spowoduje że pojawi się piąte jabłko - one po prostu są abstrakcyjne, nie opisują naszej rzeczywistości. A to że czasem NIEKTÓRE z tych abstrakcyjnych konstruktów mają pewne zastosowanie w rzeczywistości? No cóż, widać te konkretne konstrukty nie są tak abstrakcyjne jakby się na pierwszy rzut oka wydawało (vide liczby zespolone, które mają duuużo zastosowań, albo rozwinięcie geometrii euklidesowej na n-wymiarów, które to rozwinięcie było zawsze uważane za totalnie abstrakcyjne a ostatnio coraz częściej w fizyce się pojawia). Ale właśnie te konstrukty które mają jakiekolwiek zastosowanie, są SPÓJNE z zasadami "normalnej matematyki" i nie podważają żadnych z "normalnych" zasad.

Jeszcze jedno: fakt, że osoba zajmująca się na codzień matematyką dała ci błędną odpowiedź, nie oznacza od razu, że matematyka jest nieścisła. Matematyka jest ścisła, ale trzeba uważać, żeby nie zrobić jakiegoś głupiego błędu. Ja mam swoją ulubioną zagadkę, na której zagiąłem już niejednego matematyka (chociaż fakt, raczej nauczycieli w podstawówce i średniej zaginałem, nie faktycznego fachowca). Otóż mam matematyczny dowód że 2 jest równe 5:

Zakładamy, że a,b i c to liczby rzeczywiste, i że a+b=c.
Stąd możemy skonstruować jak najbardziej prawidłowe równanie:
2a+2b+5c = 5a+5b+2c

przekształcając:
2a+2b-2c = 5a+5b-5c

i dalej:
2(a+b-c) = 5(a+b-c)

dzielimy obustronnie przez (a+b-c):
2=5

czyli w wyniku wychodzi że 2 jest równe 5. Nieścisłość matematyki? Ależ skąd, w tym równaniu jest bardzo prosty błąd. Na razie nie powiem jaki, daj to temu samemu matematykowi do sprawdzenia.

Prośba do moderatorów: wydzielcie tą dyskusję z zagadek, bo mam wrażenie że jeszcze potrwa, a niech zagadki sobie czekają na odpowiedzi

[Gandalf]

wg przestawiania Gandalfa = 1

Ciągle ten sam błąd Harisie. Równanie Twoje wygląda tak:
4 x 1 x 1 x 4
-- --- --- --- ---
1 x 1 x 1 x 1
Co daje 16, a nie 1.
Również przedstawiając miejscami, co jest dopuszczelne i nie ma konieczności wykonywania działań po kolei jak twierdzi Radek, również będzie to prawdziwe. Czyli
1 / 1 x 4 x 4, tudzież 4 x 4 x 1 / 1. Trzeba tylko uważać jaki znak arytmetyczny mamy przed liczbą i go zachować.
Co do 2=5 to już jakiś czas temu rozwiązałem ten problem toteż poczekam aż Haris go wyjaśni. Ewentualnie ktoś inny.

[Radek]

Również przedstawiając miejscami, co jest dopuszczelne i nie ma konieczności wykonywania działań po kolei jak twierdzi Radek, również będzie to prawdziwe. [...] Trzeba tylko uważać jaki znak arytmetyczny mamy przed liczbą i go zachować.

Gandalfie, właśnie że zasada mówi o tej konieczności. Jakby nie mówiła, to nie byłoby od niej wyjątków w postaci przestawności mnożenia i dodawania. Ale je można zastosować tylko wtedy gdy nie ma innych operacji w "bloku działań", który chcemy przestawiać. Mimo że zapisy które podałeś są prawidłowe i dają ten sam wynik, to ogólna reguła mówi o tym, że nie można przestawiać czynników mnożenia, jeśli w bloku jest dzielenie. Jakby można było to można by było zapisać też tak - :1x1x4x4, a to już nie jest prawidłowe. A to że jak się wie co się robi to można kolejność zignorować to skwituję tylko tak, że "pamiętając o znaku" ty tak naprawdę niejawnie operujesz na ułamkach w postaci w jakiej je tu pisałeś, a wtedy jedyną operacją jest mnożenie, które można przestawiać dowolnie.

Co do 2=5 to już jakiś czas temu rozwiązałem ten problem toteż poczekam aż Haris go wyjaśni. Ewentualnie ktoś inny.

Bo to nie było do Ciebie adresowane, ani do Faziego ani nikogo innego kto już to ode mnie słyszał. A słyszeć mogło już parę osób - jak już pisałem to moja ulubiona zagadka.

[Gandalf]

Czyli przestawiać można, pod warunkiem, że przedstawi się wszystko w postaci iloczynu. Czyli, że tak powiem odjawnię to co niejawne. Powiem tak, że licząc już tyle zadań ile się naliczyłem to dla mnie przestawianie działań jest na porządku dziennym. Pod warunkiem oczywiście odpowiednich przekształceń. Bo takiej formy jak przedstawia Haris to się praktycznie nie spotyka.
A o zagadce to nie słyszałem od Ciebie tylko gdzieś ją znalazłem kawałek czasu temu w przestrzeniach bitów neta.

[Dreake]

Nie chce być jakiś chojrak czy coś, ale zlitujcie się Panowie ! ! ! (Kolejność wykonywania działań jest w klasie 3 podstawówki :0 ) Zapiszcie to jeszcze w potęgach i wtedy wszystko będzie jasne....